3變形液滴曳力系數(shù)模型

假設(shè)液滴體積不變，只在外力作用下液滴表面積發(fā)生變化，且液滴不與其他液滴合并，液滴本身也不發(fā)生分裂。則液滴會在壓差作用下由球形變成橢球形。

如圖4所示，ds為球形液滴的直徑，m；d為液滴變形后迎風(fēng)面直徑，m；h為橢球體短軸高度，m。液滴等效直徑比φ為球形液滴直徑與變形后迎風(fēng)面直徑比，即φ=ds/d。當(dāng)液滴為橢球形時，其表面積近似為

液滴變形前后體積不變，即ds3=d2h，則液滴變形程度系數(shù)為

圖4液滴變形

式中，φ為液滴變形程度系數(shù)，為與變形液滴體積相等的等效球形表面積與實(shí)際液滴表面積的比值。當(dāng)氣液相對速度不大時，液滴保持球形，可以利用球形液滴曳力系數(shù)計算攜液臨界流量，但是當(dāng)液滴發(fā)生變形以后，曳力系數(shù)和液滴迎風(fēng)面積相應(yīng)的發(fā)生改變，用球形液滴曳力系數(shù)計算誤差可能高達(dá)30%，對于非球形剛性顆粒，可以應(yīng)用如下曳力系數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計算：

式中，μg為氣體動力黏度，Pa·s。從式（8）可知，曳力系數(shù)與液滴大小有關(guān)。液滴為了保持液滴形狀不產(chǎn)生分裂，最大液滴韋伯?dāng)?shù)的范圍為20～30，可以表述為

式中，Nw為球形液滴韋伯?dāng)?shù)；dmax為球形液滴最大直徑，m。

根據(jù)Turner模型可以得到球形液滴最大直徑為

4、考慮液滴尺寸和變形影響的攜液臨界模型

氣體攜液滿足的基礎(chǔ)力學(xué)條件為向上曳力等于液滴重力，即假設(shè)液滴在氣流中受到前后壓差作用，發(fā)生變形，變形前后體積不變，則液滴體積和投影面積為

式中，Vd為液滴為球形時的體積，m3。

考慮到攜帶液滴直徑d=dmax時，聯(lián)立式（14）、（16）、（17）、（18）得到攜液臨界流速為

式中，vcr為攜液臨界流速，m/s。模型中液滴等效直徑比反映了液滴的變形程度，而變形程度又與液滴尺寸有關(guān)，Shi Juntai于2014年給出了液滴厚度（圖4中h）與長度（圖4中d）之間的關(guān)系

式中，α為液滴厚度與長度之比。

根據(jù)式（6）和式（20），可以得到最大液滴等效直徑比為

聯(lián)立界面張力公式（式4）、變形系數(shù)公式（式7）、曳力系數(shù)公式（式8）、韋伯?dāng)?shù)公式（式14），攜液臨界流速公式（式19）、等效直徑比公式（式21），若液滴尺寸未知，還需結(jié)合最大液滴公式（式15），假設(shè)攜液臨界流量和曳力系數(shù)初始值分別為Turner模型和0.44，通過方程組隱式迭代求解得到曳力系數(shù)和攜液臨界流量。最后得到氣井?dāng)y液臨界流量為

式中，qcr為攜液臨界流量，m3/d；Aw為井筒橫截面面積，m2；p為井筒壓力，MPa；Z為偏差因子；T為溫度，K。

5、參數(shù)敏感性分析

（1）界面張力對攜液臨界流量影響。如圖5所示為氣體相對密度為0.7，溫度為100℃時，利用新模型計算當(dāng)界面張力為常數(shù)（60 mN/m）和界面張力隨壓力變化時不同壓力下的攜液臨界流速。考慮界面張力變化的攜液臨界流速要比界面張力為常數(shù)時的小，計算精度更高。且隨著壓力的增大，攜液臨界流速的計算精度提高百分比，逐漸從4%上升至12.5%，平均提高了8%。

圖5考慮界面張力影響的攜液臨界流速曲線

（2）液滴尺寸和液滴變形。如圖6所示為壓力15 MPa，溫度50℃時不同液滴尺寸下液滴變形程度、曳力系數(shù)的變化趨勢。從中可知，當(dāng)液滴特別小時（1 mm），等效直徑比及變形程度系數(shù)接近1，曳力系數(shù)近似0.44，液滴呈球形基本不發(fā)生變形；隨著液滴尺寸從1 mm增大到10 mm時，等效直徑比從1減小到0.75，變形程度系數(shù)從1減小到0.45，曳力系數(shù)從0.44增大到4.3，液滴呈橢球形變形程度逐漸加大。

圖6液滴變形程度及曳力系數(shù)曲線

如圖7所示為不同液滴直徑下攜液臨界流速。從中可知，當(dāng)液滴特別小時（約為1 mm），液滴形變不明顯，所得到的模型與Turner模型相同；隨著液滴變大，液滴變形嚴(yán)重，曳力系數(shù)增大，攜液臨界流速變小。在一定液滴大小及形狀下，模型簡化為常用的攜液臨界流量模型，例如李閩模型對應(yīng)的液滴尺寸為8 mm，等效直徑比為0.8，液滴變形程度系數(shù)為0.65。

圖7考慮液滴變形的攜液臨界流速

6、模型驗(yàn)證

利用文獻(xiàn)中介紹的氣井積液實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證新模型的準(zhǔn)確性，該實(shí)驗(yàn)通過數(shù)碼攝像機(jī)捕捉微觀液滴實(shí)際形狀，采用數(shù)字流量計對注入高壓氣體計量。液滴實(shí)驗(yàn)先采用小氣量實(shí)驗(yàn)，然后加大注氣量，待注入液體使井底積液實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定不再增長，這時的注氣量即為臨界產(chǎn)量，同時觀察并記錄壓力傳感器的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)即為對應(yīng)井口壓力值。觀察數(shù)字溫度計數(shù)據(jù)，得到該組實(shí)驗(yàn)對應(yīng)的井口溫度。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在低壓條件下，液滴最小為1 mm，液滴合并最大為4～5 mm，運(yùn)動液滴近似為橢球體的形狀，高寬比約為0.9。且實(shí)際氣流中液滴會由于力矩的不平衡出現(xiàn)翻滾從而減小有效迎流面積。采用相同的條件，計算氣井?dāng)y液臨界流量與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比，如圖8所示。從圖中可知，在相同條件下計算攜液臨界流量，Turner公式系數(shù)為6.6，李閩公式系數(shù)為2.5。與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相比，Turner公式計算的結(jié)果偏大，而李閩公式計算結(jié)果偏小。考慮液滴尺寸為4.5 mm、變形后高寬比為0.9時，新模型公式系數(shù)為4.75，與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合最好。

圖8模型預(yù)測與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

7、結(jié)論

（1）建立了考慮界面張力、液滴尺寸和液滴變形影響的攜液臨界模型。模型首先通過分段擬合界面張力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立界面張力公式，然后引入變形液滴曳力系數(shù)公式及液滴變形程度和液滴尺寸之間的關(guān)系式，得到更加符合實(shí)際的攜液臨界流量模型。

（2）界面張力隨壓力和溫度變化，壓力越大、溫度越高，氣水界面張力越小；氣體相對密度越大，氣水界面張力越小。當(dāng)壓力和溫度分別為0～40 MPa和20～200℃時，界面張力范圍為30～75 mN/m，考慮界面張力影響的攜液臨界流量比界面張力為常數(shù)時的計算精度要高。

（3）液滴尺寸和變形對攜液臨界流量影響較大。當(dāng)液滴特別小時，液滴在壓差下基本不發(fā)生形變，液滴基本呈球形，曳力系數(shù)近似0.44；隨著液滴直徑越大，液滴越容易變形，液滴高寬比越小，曳力系數(shù)越大，攜液臨界流速變小。考慮了液滴尺寸和液滴變形影響的新模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合良好。